PREMIÈRE SPÉCIALITÉ · SUITES NUMÉRIQUES
Un terme. Et tout se suit.
Fais varier une règle, observe les points,
puis comprends ce qui les relie.
Une suite, ce sont des valeurs à des rangs entiers. Pas une courbe continue.
▤ Définitions & notations+
Une suite réelle associe un nombre à chaque entier naturel de son domaine. uₙ est le terme de rang n ; (uₙ) désigne la suite entière. On écrit aussi u(n).
Le premier rang peut être 0 ou 1 : si l’on commence à 0, u₅ est le sixième terme. Ne pas confondre uₙ₊₁ (terme suivant) et uₙ + 1.
Explicite : uₙ = f(n) permet un calcul direct. Récurrence : une valeur initiale et uₙ₊₁ = f(uₙ) permettent des calculs successifs. Une suite peut aussi naître d’un motif ou d’un algorithme.
On représente les points (n ; uₙ). Les rangs sont entiers : les espaces entre les points ne sont pas des termes de la suite.
À toi de faire la suite.
Déplace le curseur ou clique sur un point. Échelle verticale automatique.
Tableau des valeurs & calcul pas à pas +
▤ Reconnaître les deux grandes familles+
Arithmétique · ajouter r
uₙ₊₁ = uₙ + r
uₙ = uₚ + (n − p)r
Pour tout n, la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante. Une augmentation de 20 € chaque mois est arithmétique. Les points sont alignés sur une droite affine.
Géométrique · multiplier par q
uₙ₊₁ = quₙ
uₙ = uₚ qⁿ⁻ᵖ
Le rapport uₙ₊₁/uₙ est constant lorsque uₙ ≠ 0. La définition par multiplication reste valable pour la suite nulle. Pour q = 0, le premier terme est conservé, puis tous les suivants sont nuls.
Reconnaître n’est pas deviner : quelques différences ou rapports égaux suggèrent une famille ; pour prouver, établir l’égalité pour tout rang.
Pourquoi le terme général ?
Entre p et n, on effectue n − p additions de r, ou n − p multiplications par q. Cela donne les deux formules ci-dessus : compter les transitions évite l’erreur de décalage.
De la règle au raisonnement.
Variations : qu’est-ce qui fait monter les termes ? +
▤ Prouver les variations+
Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ, constante si les termes sont égaux. Remplacer par > ou < pour une variation stricte.
Étudier le signe de dₙ = uₙ₊₁ − uₙ.
Arithmétique : dₙ = r. Le signe de r suffit.
Géométrique : dₙ = uₙ(q − 1). Il faut tenir compte du signe de uₙ ! Pour u₀ > 0 et q > 0 : croissance si q > 1, décroissance si 0 < q < 1. Pour u₀ < 0, les sens sont inversés. Si q < 0 et u₀ ≠ 0, les signes alternent : la suite n’est pas monotone.
Pour une suite strictement positive, on peut comparer uₙ₊₁/uₙ à 1. Cette méthode ne s’applique pas telle quelle aux termes négatifs ou nuls.
Si uₙ = f(n) et f est croissante sur le domaine réel considéré, (uₙ) est croissante. Attention : la monotonie de f dans uₙ₊₁ = f(uₙ) ne donne pas, à elle seule, celle de la suite.
Sommes : additionner plusieurs termes +
▤ Sommes : formules et démonstrations+
De uₚ à uₘ inclus, il y a m − p + 1 termes.
Arithmétique : S = (m − p + 1)(uₚ + uₘ)/2
Géométrique : S = uₚ(1 − qᵐ⁻ᵖ⁺¹)/(1 − q), si q ≠ 1.
Si q = 1 : S = (m − p + 1)uₚ.
Pourquoi 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 ?
Écrire la somme dans les deux sens, puis additionner colonne par colonne : chaque paire vaut n + 1 et il y a n colonnes. Donc 2S = n(n + 1).
Pourquoi 1 + q + … + qⁿ ?
Poser S = 1 + q + … + qⁿ, puis qS = q + … + qⁿ⁺¹. En soustrayant : (1 − q)S = 1 − qⁿ⁺¹. Diviser par 1 − q si q ≠ 1. Si q = 1, additionner n + 1 fois 1.
La notation Σ indique une somme : Σ de k = p à m de uₖ = uₚ + … + uₘ. Pour une autre famille, on peut additionner les termes avec une boucle.
Seuils & comportement à long terme +
Voir un algorithme de seuil en Python +
Ici, terme(n) calcule le terme de rang n de la suite choisie. On teste aussi n = 0 et on borne la recherche.
n = 0
while n <= 10000 and terme(n) < T:
n = n + 1
if n <= 10000:
print(n)
else:
print("Seuil non trouvé dans la fenêtre")Ce code cherche uₙ ≥ T. Pour chercher uₙ ≤ T, remplacer le test terme(n) < T par terme(n) > T. Le navigateur arrête aussi la recherche en cas de perte de précision numérique.
Recherche limitée aux rangs 0 à 10 000, arrêt si la précision numérique devient insuffisante.
▤ Seuils & limites : une première intuition+
Une limite finie L signifie intuitivement que les termes se rapprochent aussi près que voulu de L et restent proches. Une limite +∞ signifie qu’ils finissent par dépasser tout seuil et restent au-dessus. Pour −∞, ils passent sous tout seuil.
Exemples : 1/(n + 1) se rapproche de 0 ; n² grandit sans borne ; (−1)ⁿ oscille entre −1 et 1 et n’a pas de limite. Une suite peut être bornée sans converger.
Pour |q| < 1, u₀qⁿ tend vers 0 ; pour q = 1 elle est constante. Si q > 1 et u₀ ≠ 0, elle tend vers +∞ ou −∞ suivant le signe de u₀. Si q ≤ −1 et u₀ ≠ 0, elle n’a pas de limite ; pour q < −1 l’amplitude augmente. Si u₀ = 0, elle reste nulle.
En première, on développe cette intuition sur des exemples. Un graphique fini ne prouve pas une limite. Ne pas confondre « atteindre une fois un seuil » et « rester au-delà à partir d’un rang ».
Motifs : compter, puis trouver une formule +
Les nouveaux points sont orange : leur nombre donne la différence entre deux étapes.
Les suites dans la vraie vie.
▤ Passer d’une situation à une suite+
1. Choisir l’unité de temps et définir précisément uₙ.
2. Écrire le premier terme.
3. Traduire l’évolution : ajout fixe → arithmétique ; taux fixe → géométrique.
4. Calculer, puis interpréter avec les unités et les limites du modèle.
Taux t % → q = 1 + t/100
Taux global après n périodes : (qⁿ − 1) × 100 %.
Une hausse de 5 % correspond à q = 1,05, une baisse de 20 % à q = 0,8. Les taux successifs ne s’additionnent pas. Un capital à intérêts composés, une population à taux fixe et une décroissance radioactive se modélisent par des suites géométriques.
Pour q > 0, les points uₙ = u₀qⁿ sont les valeurs aux temps entiers du modèle exponentiel continu u(t) = u₀qᵗ. Pour q négatif, cette extension réelle n’est pas disponible en général. Les points restent le modèle discret étudié ici.
Si une somme fixe est ajoutée après une évolution proportionnelle : uₙ₊₁ = quₙ + d. Ce modèle n’est en général ni arithmétique ni géométrique.
Algorithmes : faire tourner la règle +
Exécution pédagogique dans le navigateur ; le code affiché est sa traduction en Python.
▤ Lire une boucle et une liste Python+
u = ... est une affectation : on remplace la valeur de u. Une boucle for répète un nombre connu d’étapes ; while continue tant que sa condition est vraie. Une liste stocke les termes ; son premier indice est 0.
Calculer un terme par récurrence exige de partir de la valeur initiale et de faire le bon nombre de mises à jour. Pour sommer, initialiser un accumulateur. Pour un seuil, tester aussi le premier terme et prévoir une borne de recherche.
Factorielle : n! = 1 × 2 × … × n, et 0! = 1.
Fibonacci : F₀ = 0, F₁ = 1, Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ.
Syracuse : départ entier positif ; diviser par 2 si pair, sinon multiplier par 3 puis ajouter 1. On s’arrête ici au premier 1. Atteindre 1 pour tous les départs reste une conjecture, pas un théorème.
▤ Pour aller plus loin · facultatif+
Tour de Hanoï
Le nombre minimal de déplacements pour n disques est Hₙ = 2ⁿ − 1, avec H₀ = 0. Pour n + 1 disques : déplacer les n petits, déplacer le grand, puis les n petits, d’où Hₙ₊₁ = 2Hₙ + 1.
Sommes de puissances
1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
1³ + … + n³ = [n(n + 1)/2]²
Emprunt à annuités constantes
Si Cₙ est le capital restant, t le taux par période et A l’annuité payée en fin de période : Cₙ₊₁ = (1 + t)Cₙ − A, jusqu’au remboursement. Le dernier paiement peut être ajusté au solde. C’est un exemple de récurrence affine.
Ces pistes sont des approfondissements facultatifs ; elles ne remplacent pas la maîtrise du chapitre.